高等数学（工本）· 考点速查（00023 大纲口径）

用途：按教材六章逐章默写公式与适用条件。本文是知识速查和条件提醒，不替代教材例题与真题。依据：《高等数学（工本）》（2023 年版，陈兆斗、马鹏主编，北京大学出版社，ISBN 9787301338292）所附大纲印刷页 4—18（转载扫描件，内容为大纲原文，已确认采用）。配套：题型模板与自测 提供 14 个模板、12 道补缺诊断题、21 题自测。场次、考点等当地安排以准考证和考试院通知为准。

0. 大纲六章与试卷结构

试卷结构：闭卷 150 分钟、100 分；单选 10 题 30 分、计算 10 题 60 分、综合 2 题 10 分，共 22 题；不允许带计算器和参考书。大纲要求命题覆盖到章，但不代表每个细目每次都考；没有真题统计前，不推断各章分值。

先修部分：§1—§5 是一元极限、导数、积分。本课程是多元微积分，这些只是计算工具——做题卡住时回查，不要整段替代六章复习。

范围边界（降为拓展，不等于整章不考）

• 向量积：教材有带星节，考核知识点未单列；数量积、方向余弦、线性运算仍要掌握，平行可用 a=λb 判断。
• 球面坐标积分：未列考核要求；三重积分的直角、柱面坐标在范围内。球面这一几何曲面仍在范围内，别与球面坐标混淆。
• 高斯公式、散度：未列考核要求；两类曲面积分直接计算仍要会，格林公式也在范围内。
• 二阶非齐次待定系数法：不作主攻；“齐次通解＋一个特解”的结构仍要会，并能验证已给特解。
• 半区间正弦／余弦展开：未列考核要求；[−π,π) 上的 2π 周期傅里叶展开在范围内。

1.1 等价无穷小（x→0，必须默写）

sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1+x) ~ e^x − 1 ~ x
1 − cos x ~ x²/2
(1+x)^α − 1 ~ αx
a^x − 1 ~ x ln a
x − sin x ~ x³/6
tan x − x ~ x³/3
x − ln(1+x) ~ x²/2

参数条件：上式 (1+x)^α−1 ~ αx 要求 α≠0；a^x−1 ~ x ln a 要求 a>0 且 a≠1。使用提醒：优先在乘除中整体替换；加减中须另证替换误差足够小，低阶项抵消时尤其不能直接替换。

1.2 极限求法优先级

1. 先代入，看是否定式；
2. 能化简先化简（约分、有理化、提公因式）；
3. 等价无穷小替换（乘除）；
4. 洛必达（仅 0/0 或 ∞/∞）；
5. 泰勒展开（洛必达反复求导麻烦时）；
6. 重要极限凑形：lim(1+□)^{1/□} = e。

1.3 常见变形

1^∞ 型：u>0、u→1、|v|→∞，且 v(u−1) 的极限存在（可为 ±∞）时，lim u^v = e^{lim v(u−1)}
0·∞ 型：把乘积化为商，整理成 0/0 或 ∞/∞ 型
∞−∞ 型：通分或有理化

1.4 连续与间断点

• 连续：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，即左极限 = 右极限 = 函数值。
• 第一类间断点（左右极限都存在）：可去（极限存在但 ≠ 函数值或无定义）、跳跃（左右极限不等）。
• 第二类间断点：无穷间断、振荡间断（如 sin(1/x)）。
• 闭区间连续函数四大性质：有界性、最值定理、介值定理、零点定理。

先修 2｜导数与微分

2.1 定义与可导性

f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) − f(x₀)]/Δx
左导数 = 右导数 ⟺ 可导
可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导（|x| 在 0 点）

分段函数在分界点求导：必须用定义分别算左右导数。

2.2 求导法则

(uv)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv')/v²
复合：[f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)     ← 链式，从外往内剥
反函数：dy/dx = 1/(dx/dy)

2.3 特殊类型

• 隐函数 F(x,y)=0：F 在所考察点附近一阶偏导连续且 F_y≠0 时，可局部确定可导的 y(x)；两边对 x 求导，解出 y'。
• 参数方程 x=φ(t), y=ψ(t)：在 φ'(t)≠0 且所需导数存在处，dy/dx = ψ'(t)/φ'(t)； 二阶：d²y/dx² = [d/dt(ψ'/φ')] / φ'(t)。
• 对数求导法：幂指函数 u^v 一般要求 u>0；多因子乘积在非零区间可取 ln|y|，再求导。
• 高阶导数：(sin x)^(n) = sin(x + nπ/2)；(e^x)^(n) = e^x；1/(1−x) 的 n 阶 = n!/(1−x)^{n+1}。

2.4 微分

dy = f'(x)dx，Δy ≈ f'(x)dx（近似计算）

先修 3｜中值定理与导数应用

3.1 三大中值定理

罗尔：f 在 [a,b] 连续，(a,b) 可导，f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f'(ξ)=0
拉格朗日：f 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导 ⇒ ∃ξ∈(a,b), f(b) − f(a) = f'(ξ)(b − a)
柯西：f、g 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导，且 (a,b) 内 g'≠0
      ⇒ ∃ξ∈(a,b), [f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)

• 证明"存在 ξ 使…" 的套路：构造辅助函数 F(x)，使 F(a)=F(b)，再用罗尔。
  • 要证 f'(ξ) = k → 令 F = f(x) − kx
  • 要证 f'(ξ)·g(ξ) + f(ξ)g'(ξ) = 0 → 令 F = f(x)g(x)

3.2 洛必达

对 0/0 或 ∞/∞ 型的 f/g，在趋近点的去心邻域（或相应单侧邻域、无穷远区间）内 f、g 可导、g'≠0，且 f'/g' 的极限存在（允许为 ±∞）时，才可由该极限确定原极限。重复使用时每次都须满足条件；导数比无极限不代表原比值无极限。

3.3 泰勒 / 麦克劳林（x₀=0）

e^x   = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …      (−1 < x ≤ 1)
1/(1−x) = 1 + x + x² + …          (|x| < 1)
(1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2! + …  (|x|<1，通用范围)
arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − …    (|x| ≤ 1)

3.4 单调性 / 极值 / 凹凸

f' > 0 增，f' < 0 减
f'' > 0 凹（下凸／开口向上），f'' < 0 凸（上凸）
拐点：曲线上连续点的两侧凹凸性发生改变；常用两侧 f'' 变号判定
候选横坐标包括 f''=0 和 f'' 不存在处（如 x^(1/3) 在 0 处）

极值判别：

• 第一充分条件：f 在 x₀ 连续且在其两侧可导，f' 由 + 变 − → 极大；由 − 变 + → 极小。
• 第二充分条件：f'(x₀)=0 且 f''(x₀)<0 → 极大；f''(x₀)>0 → 极小。
• 极值点可能是导数不存在的点（如 y=|x| 在 0）。

最值：比较所有驻点、不可导点、区间端点的函数值。

3.5 渐近线

水平：lim(x→∞) f(x) = b  →  y = b
铅直：lim(x→a) f(x) = ∞   →  x = a
斜：k = lim f(x)/x, b = lim [f(x) − kx]  →  y = kx + b

先修 4｜不定积分

4.1 基本积分表（必背，倒着背导数表也行）

∫x^a dx = x^(a+1)/(a+1) + C  (a ≠ −1)
∫dx/x = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/ln a + C  (a>0 且 a≠1)
∫sin x dx = −cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫sec²x dx = tan x + C
∫csc²x dx = −cot x + C
∫sec x tan x dx = sec x + C
∫dx/(1+x²) = arctan x + C
∫dx/√(1−x²) = arcsin x + C
∫tan x dx = −ln|cos x| + C
∫cot x dx = ln|sin x| + C
∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
∫csc x dx = ln|csc x − cot x| + C
∫dx/(a²+x²) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫dx/√(a²−x²) = arcsin(x/a) + C
∫dx/(x²−a²) = (1/2a)ln|(x−a)/(x+a)| + C
∫dx/√(x²±a²) = ln|x + √(x²±a²)| + C
∫√(a²−x²)dx = (x/2)√(a²−x²) + (a²/2)arcsin(x/a) + C

上述含 a² 的参数积分公式统一取 a>0，并在被积函数有定义的区间内使用；一般实指数的 x^a 公式取 x>0。

4.2 换元法

• 第一类（凑微分）：∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du。 常见凑法：xdx = ½d(x²)；dx/x = d(ln|x|)（x≠0）；e^x dx = d(e^x)；dx/√x = 2d√x（x>0）。
• 第二类（三角代换）： `` √(a²−x²) → x = a sin t √(a²+x²) → x = a tan t √(x²−a²) → x = a sec t ``
• 根式代换：含 ⁿ√(ax+b) 时令 t = ⁿ√(ax+b)。

4.3 分部积分

∫u dv = uv − ∫v du
选 u 的顺序（口诀"反对幂指三"）：反三角 > 对数 > 幂 > 指数 > 三角
即 u 取靠前者，dv 取靠后者。

典型：∫x e^x dx、∫x sin x dx、∫ln x dx、∫x arctan x dx、∫e^x sin x dx（循环两次回归）。

4.4 有理函数积分

假分式先做多项式除法 → 分母因式分解 → 部分分式：

1/[(x−a)(x−b)] = A/(x−a) + B/(x−b)
1/(x−a)² → A/(x−a) + B/(x−a)²
(x²+px+q 不可约) → (Ax+B)/(x²+px+q)，配方后 ln + arctan

先修 5｜定积分及其应用

5.1 性质与公式

下列奇偶性、周期性公式要求相关区间上可积（不能把发散的反常积分当作普通定积分）；牛顿-莱布尼茨公式可在 f 连续、F'=f 时使用，变限求导公式要求 f 连续且上下限函数可导。

牛顿-莱布尼茨：∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a)
线性、区间可加：∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b
奇偶性：f 奇 ⇒ ∫_{−a}^{a} f = 0；f 偶 ⇒ ∫_{−a}^{a} f = 2∫_0^a f
周期 T：∫_a^{a+T} f = ∫_0^T f
变限积分：d/dx ∫_{φ(x)}^{ψ(x)} f(t)dt = f(ψ)·ψ' − f(φ)·φ'

5.2 换元与分部

• 换元必须换上下限，算完不必回代（直接代新限）。
• 分部积分带限：∫_a^b u dv = [uv]_a^b − ∫_a^b v du。

5.3 反常积分

∫_a^{+∞} f = lim(b→+∞) ∫_a^b f
∫_a^b f（b 为瑕点）= lim(ε→0+) ∫_a^{b−ε} f
p-积分：∫_1^{+∞} dx/x^p 收敛 ⟺ p > 1
        ∫_0^1 dx/x^p 收敛 ⟺ p < 1

5.4 几何应用

面积：A = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx（先求交点定上下限与上下方）
绕 x 轴旋转（区域为 a≤x≤b、0≤y≤f(x)）：V = π∫_a^b f²(x) dx
绕 y 轴（柱壳法，0≤a<b、0≤y≤f(x)）：V = 2π∫_a^b x·f(x) dx
平面曲线弧长：s = ∫_a^b √(1 + f'²(x)) dx

旋转体须先明确被旋转的平面区域：圆环法用 π∫(外半径²−内半径²)；柱壳法用 2π∫(到旋转轴的距离)·(壳高)·(厚度)。上式柱壳的壳高是 f(x)，一般两曲线间则为“上−下”；跨越旋转轴时须分区并避免重复计体积，不能直接把带符号的 x 当距离。

6. 空间解析几何与向量代数（第一章）

6.1 坐标与向量

点 A=(x₁,y₁,z₁)、B=(x₂,y₂,z₂)，向量 a=(a₁,a₂,a₃)、b=(b₁,b₂,b₃)：

AB向量 = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)，距离 |AB| = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²]
a±b、λa 均按分量运算；|a| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
非零 a 的同向单位向量 e = a/|a|；方向余弦 = (a₁/|a|,a₂/|a|,a₃/|a|)
a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ = |a||b|cos θ  （非零向量，0≤θ≤π）
a 在非零 b 方向的有向标量投影 = a·b/|b|；向量投影 = (a·b/|b|²)b

非零向量垂直当且仅当 a·b=0；平行当且仅当分量成同一比例（有零分量时不要直接相除）。方向余弦的平方和为 1。

6.2 平面、直线与夹角

平面：n·(r−r₀)=0，n=(A,B,C)≠0；一般式 Ax+By+Cz+D=0
截距式：x/a+y/b+z/c=1（与三轴有非零有限截距时）
直线：r=r₀+tv，v=(l,m,n)≠0；对称式 (x−x₀)/l=(y−y₀)/m=(z−z₀)/n
某方向分量为 0 时，该坐标保持常数；参数式始终可用，不写“除以 0”
直线一般式：两个法向量不平行的平面方程联立
两平面锐角或直角 θ：cos θ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
两直线方向的锐角或直角 θ：cos θ=|v₁·v₂|/(|v₁||v₂|)
直线与平面夹角 α：sin α=|v·n|/(|v||n|)，0≤α≤π/2
点到平面距离：d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)

• 两平面法向量平行 ⇒ 平面平行或重合；法向量垂直 ⇒ 平面垂直。
• 两直线方向向量平行 ⇒ 直线平行或重合；方向正交不保证空间直线相交，判断位置还需联立方程。
• v·n=0 ⇒ 直线平行于平面或在平面内，用直线上一点区分；v∥n ⇒ 直线垂直平面。

6.3 曲面识别、曲线与投影

以下 a,b,c>0；轴的置换不改变识别方法。

• 坐标面上的曲线绕轴旋转：保留轴向坐标，把到轴的距离改为径向距离。例如 xOz 平面上 x²=2az（a>0）绕 z 轴生成 x²+y²=2az。
• 空间曲线可写参数式 r(t)，或两个曲面 F(x,y,z)=0、G(x,y,z)=0 的交线。
• 投影到 xOy 面：消去 z，检查是否每个候选 (x,y) 都有实数 z 可回代，保留必要不等式；投影曲线在空间中还应补 z=0。
• 例：x²+y²+z²=1 与 z=x 的交线，投影为 2x²+y²=1、z=0；而球面本身投影是圆盘 x²+y²≤1，不能误写成圆周。

辅助拓展（非独立考核要求）：向量积满足 |a×b|=|a||b|sinθ，方向按右手规则；非零叉积垂直于 a、b，也可用 a×b=0 判断平行。教材目录包含向量积，但已核对的大纲“考核知识点与考核要求”未单列它，不能与数量积等同安排训练优先级。

7. 多元函数的微分学（第二章）

7.1 基本概念

• 偏导数：对 x 求导时把 y 当常数。
• 全微分：dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy（可微的充分条件：偏导连续）。
• 二阶偏导：两个混合偏导在该点邻域存在并连续时，该点 z_xy = z_yx。

概念与条件补充

• 定义域由根号、分母、对数等共同限制；邻域、内点、边界点、开集、闭集、有界性需能识别。二元函数的图形是空间曲面。
• 二重极限要求沿所有趋近方式相同；两条路径给出不同值即可否定，几条路径一致不能证明存在。连续指二重极限等于该点函数值；连续函数在有界闭区域上有最大、最小值，在区域内任意两点可由区域内路径连接时具有介值性质。
• f_x(x₀,y₀)=limh→0−f(x₀,y₀))/h；另一个变量固定。可微 ⇒ 连续且偏导存在，偏导存在不保证可微；邻域内一阶偏导连续是可微的充分条件。
• 二阶混合偏导在邻域连续时可交换次序。隐函数公式需相应分母非零，例如 F_z≠0 时 z_x=−F_x/F_z。
• 链式法则：z=f(u,v)，u=u(t),v=v(t) 时 dz/dt=f_u u′+f_v v′；z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y) 时分别对 x、y 求链式偏导。
• 若 w=f(x,y,u(x,y))，则 w_x=f_x+f_u u_x，w_y=f_y+f_u u_y；显含自变量的一项不能漏掉。
• 二元极值：内点可微时才以 f_x=f_y=0 为必要条件；§7.4 的二阶判别需二阶偏导连续。闭区域最值还要查边界；约束极值用§7.5（常规乘数法要求约束梯度非零）。

7.2 复合函数（链式法则）

z = f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)
∂z/∂x = f_u·u_x + f_v·v_x
∂z/∂y = f_u·u_y + f_v·v_y

7.3 隐函数求导

F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)：
∂z/∂x = −F_x/F_z,   ∂z/∂y = −F_y/F_z
F(x,y)=0 确定 y=y(x)：dy/dx = −F_x/F_y

条件：F 在该点附近有连续一阶偏导，且分别满足 F_z≠0 或 F_y≠0；不满足正则条件时不能直接套公式。

7.4 二元函数极值

在定义域内点，若两偏导存在，局部极值的必要条件是两偏导均为 0；这样的点称驻点。以下二阶判别要求 f 在驻点附近具有连续二阶偏导。

先求驻点：f_x = 0 且 f_y = 0
记 A = f_xx, B = f_xy, C = f_yy，Δ = AC − B²
Δ > 0 且 A > 0 → 极小值
Δ > 0 且 A < 0 → 极大值
Δ < 0          → 非极值（鞍点）
Δ = 0          → 需另行判断

7.5 拉格朗日乘数法（条件极值）

求 z=f(x,y) 在 g(x,y)=0 下的极值：构造 L = f(x,y) + λg(x,y)，解

L_x = 0, L_y = 0, g(x,y) = 0

要求 f、g 在所考察点附近有连续一阶偏导且 ∇g≠0。方程组给出正则约束上的候选点；约束奇异点、端点等另查。若求全局最值，还须确认最值存在并比较所有候选点，不能仅由乘数方程断定极值。

7.6 梯度与方向导数

函数在该点可微，给定非零方向 v 时：

∇f=(f_x,f_y,f_z)（二元时删去 z 分量）
e=v/|v|，D_e f=∇f·e  ← 先单位化，不能直接用 ∇f·v
∇f≠0 时，最大方向导数为 |∇f|，方向为 ∇f/|∇f|；最小值为 −|∇f|

若 ∇f=0，则各单位方向的方向导数均为 0，不存在唯一的最速上升方向。

7.7 曲线切线／法平面，曲面切平面／法线

参数曲线 r(t)，M=r(t₀)，且 r′(t₀)≠0：
切线：r=M+s r′(t₀)；法平面：r′(t₀)·(r−M)=0
隐式曲面 F(x,y,z)=0，M 在曲面上，且 ∇F(M)≠0：
切平面：∇F(M)·(r−M)=0；法线：r=M+s∇F(M)
显式曲面 z=g(x,y)：切平面 z−z₀=g_x(M)(x−x₀)+g_y(M)(y−y₀)
可取法向量 (−g_x,−g_y,1)

曲线法平面的法向量是曲线切向量；曲面切平面的法向量是曲面梯度，不要对调。

8. 重积分（第三章）

8.1 直角坐标

• X 型（先 y 后 x）：∬_D f dxdy = ∫_a^b dx ∫_{y₁(x)}^{y₂(x)} f dy
• Y 型（先 x 后 y）：∬_D f dxdy = ∫_c^d dy ∫_{x₁(y)}^{x₂(y)} f dx
• 交换积分次序：先画区域图，再用另一种型重写。

8.2 极坐标

x = r cos θ, y = r sin θ,  dxdy = r dr dθ   ← 这个 r 必须写
∬_D f dxdy = ∫_{θ₁}^{θ₂} dθ ∫_{r₁(θ)}^{r₂(θ)} f(r cosθ, r sinθ)·r dr

适用信号：区域是圆/扇形/环；被积函数含 x²+y²。常见区域：圆 x²+y²≤a² → r∈[0,a], θ∈[0,2π]；上半圆 θ∈[0,π]；第一象限 θ∈[0,π/2]。

8.3 对称性化简

以下均要求被积函数在区域上可积。

• 区域关于 x 轴对称，f 关于 y 为奇函数 ⇒ 积分为 0。
• 区域关于 y 轴对称，f 关于 x 为奇函数 ⇒ 积分为 0。

8.4 三重积分

• 二重积分是平面区域上的面积加权极限和，三重积分是空间区域上的体积加权极限和；连续函数在有界闭区域上可积。
• 两者均满足线性、区域可加性、保序性及估值性质：m≤f≤M 时，m·区域面积或体积 ≤ 积分 ≤ M·区域面积或体积。区域和被积函数同时满足相应对称性，才可用奇偶性简算。

直角坐标（先 z）：∭_Ω f dV = ∬_D [∫_{z₁(x,y)}^{z₂(x,y)} f(x,y,z) dz] dxdy
先找 Ω 在 xOy 面的投影 D，再定“下表面≤z≤上表面”；其他积分次序同理
柱面坐标：x=r cosθ，y=r sinθ，z=z，dV=r dz dr dθ
∭_Ω f dV = ∫_{θ₁}^{θ₂}dθ ∫_{r₁(θ)}^{r₂(θ)}dr ∫_{z₁(r,θ)}^{z₂(r,θ)} f(r cosθ,r sinθ,z)·r dz

柱面坐标的 r≥0；代换区域、被积函数、体积元三者都要改，不能只改 x²+y²。

8.5 重积分的应用

平面面积 A=∬_D 1 dA；曲顶柱体体积 V=∬_D (z上−z下)dA
薄板质量 m=∬_D σ(x,y)dA；空间体积 V=∭_Ω 1 dV；空间质量 m=∭_Ω ρ(x,y,z)dV
密度 σ、ρ 应非负；曲面面积见 §9.4；二重积分换序与极坐标见 §8.1—8.3、模板 9

9. 曲线积分与曲面积分（第四章）

9.1 两类曲线积分

设分段光滑曲线由 r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b 参数化。

第一类（弧长加权）：∫_L f ds = ∫_a^b f(r(t))√[x′²+y′²+z′²] dt
第二类（沿切向的有向积分）：∫_L P dx+Q dy+R dz = ∫_a^b [P(r(t))x′+Q(r(t))y′+R(r(t))z′] dt

• 第一类与方向无关，反向不变；第二类反向变号。两者都线性、可分段相加；第一类非负被积函数的积分非负，第二类没有此保号结论。
• 参数增大应与给定方向一致；平面曲线删去 z 项。折线按段分别参数化，不能只按端点猜积分。
• 第一类取 f=1 得弧长，取线密度得质量；第二类可表示力沿有向路径所做的功。

9.2 格林公式

D 为平面单连通区域，边界 L 为分段光滑简单闭曲线；P、Q 在含 D 及边界的开集内有连续一阶偏导，则

∮_{L正向} P dx+Q dy = ∬_D (Q_x−P_y) dxdy

正向指沿边界行进时区域在左侧，即简单闭曲线逆时针；顺时针时取负号。先检查区域内有无奇点，不能把有孔区域或含奇点的情形直接套成此版本。

9.3 路径无关与势函数

• 在连通开区域内，连续 P、Q 的积分路径无关 ⇔ 任意闭曲线积分为 0 ⇔ 存在势函数 Φ，使 dΦ=Pdx+Qdy。
• 若区域单连通且 P、Q 有连续一阶偏导，则 P_y=Q_x 可推出路径无关；没有单连通前提，不能仅凭偏导相等下结论。
• 路径无关时，A→B 的积分=Φ(B)−Φ(A)。求 Φ：先对 P 关于 x 积分加 h(y)，再由 Φ_y=Q 确定 h。
• 警示：P=−y/(x²+y²)、Q=x/(x²+y²) 在去掉原点的平面上满足 P_y=Q_x，但绕原点单位圆逆时针积分为 2π，不路径无关。

曲面分片光滑；图形 z=g(x,y) 在投影域 D 上为单值且一阶偏导连续。

9.4 第一类：对面积积分

dS=√(1+g_x²+g_y²) dxdy
∬_S f dS=∬_D f(x,y,g(x,y))√(1+g_x²+g_y²) dxdy

第一类与定向无关，反向不变；f=1 得曲面面积，f 为面密度得质量。若需投影到其他坐标面，改写为相应单值图形；不能单片表示时分片相加。

9.5 第二类：对坐标积分（通量）

必须按循环次序写，尤其第二项是 Q dz dx：

∬_S P dy dz+Q dz dx+R dx dy = ∬_S (P,Q,R)·n dS

n 为指定侧的单位法向量。它线性、可分片相加，反向整体变号，并不等于把 dS 换成 dxdy。

z=g(x,y)，上向（n_z>0）：n dS=(−g_x,−g_y,1) dxdy
上向积分 = ∬_D [−P(x,y,g)g_x−Q(x,y,g)g_y+R(x,y,g)] dxdy
下向（n_z<0）：n dS=(g_x,g_y,−1) dxdy，积分是上式的负值
x=g(y,z)，朝 +x：n dS=(1,−g_y,−g_z) dy dz，朝 −x 整体取负
 y=g(z,x)，朝 +y：n dS=(−g_x,1,−g_z) dz dx，朝 −y 整体取负

后两行的偏导均针对该行图形函数的自变量。闭曲面的“外侧”是离开立体的方向：上盖可能向上，下盖向下，侧面需逐片判定，不能全部取上向；本入口不依赖高斯公式。

10. 常微分方程（第五章）

10.1 可分离变量

dy/dx = f(x)g(y)  ⇒  在 g(y)≠0 的解区间内，∫dy/g(y) = ∫f(x)dx

除以 g(y) 前先找 g(y₀)=0：原方程有定义时，y≡y₀ 是常数解，须另行保留。

10.2 齐次方程

dy/dx = φ(y/x)  ⇒  令 u = y/x，则 y = ux，dy/dx = u + x du/dx

10.3 一阶线性

y' + P(x)y = Q(x)
通解：y = e^{−∫P dx} ( ∫Q·e^{∫P dx} dx + C )

10.4 可降阶的三类二阶方程

• 方程的阶是最高阶导数的阶数；二阶通解通常含两个独立任意常数，代入初值确定常数后得到特解，最后应回代原方程及初值检查。

除以 p、y 或其他表达式前，应检查它为 0 的分支；第三类中的常值解需代原方程检查，不能在降阶时悄悄丢掉。

10.5 二阶线性方程解的结构

线性无关：不存在不全为 0 的常数 c₁,c₂，使 c₁y₁+c₂y₂ 恒等于 0
对于同一个二阶线性齐次方程的解，系数连续时，Wronskian W=y₁y₂′−y₁′y₂
在某一点非零即可判定两解线性无关
齐次：y″+p(x)y′+q(x)y=0，通解 Y=C₁y₁+C₂y₂（y₁,y₂ 为线性无关解）
非齐次：y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)，若已知一个特解 y_p，则通解 y=Y+y_p
两个非齐次解之差是对应齐次解；两个非齐次解之和一般不是原非齐次解

二阶常系数齐次见 §10.6，一阶三类见 §10.1—10.3，模板 10。

10.6 二阶常系数线性齐次

y'' + py' + qy = 0  →  特征方程 r² + pr + q = 0
Δ = p² − 4q > 0：y = C₁e^{r₁x} + C₂e^{r₂x}
Δ = 0        ：y = (C₁ + C₂x)e^{rx}
Δ < 0        ：y = e^{αx}(C₁cos βx + C₂sin βx)，α = −p/2, β = √(4q−p²)/2

10.7 二阶常系数线性非齐次（结构在考，求特解方法为拓展）

大纲要求知道通解结构，不要求用待定系数法自行求特解；以下试设规则保留作拓展，复习优先级低于三类可降阶方程和齐次方程求解。对 y''+py'+qy=f(x)：

通解 = 齐次通解 + 一个特解
右端 f(x) = P_m(x)e^{λx}，设特解 y* = x^k Q_m(x)e^{λx}
  λ 不是特征根 → k = 0
  λ 是单根     → k = 1
  λ 是重根     → k = 2
右端 f(x) = e^{αx}[P cos βx + Q sin βx]，设 y* = x^k e^{αx}[R cos βx + S sin βx]
  α±βi 不是特征根 → k=0；是         → k=1

11. 无穷级数（第六章）

11.1 收敛的必要条件

Σuₙ 收敛 ⇒ lim uₙ = 0
逆否：lim uₙ ≠ 0 ⇒ 发散（最常用的秒杀点）
但 lim uₙ = 0 不保证收敛（调和级数 Σ1/n 发散）

11.2 正项级数判别法

常用参照：Σ1/n^p、Σaq^n（|q|<1 收敛）、Σ1/(n ln^p n)（p>1 收敛）。

11.3 交错级数（莱布尼茨）

Σ(−1)^{n−1}uₙ，若 uₙ 单调递减且 lim uₙ = 0 ⇒ 收敛，且余项 |Rₙ| ≤ u_{n+1}。

11.4 绝对收敛与条件收敛

Σ|uₙ| 收敛 ⇒ Σuₙ 收敛（绝对收敛）
Σuₙ 收敛但 Σ|uₙ| 发散 → 条件收敛（如 Σ(−1)^{n−1}/n）

11.5 幂级数

Σaₙx^n：若相应极限存在，R = lim |aₙ/a_{n+1}|（比值须最终有定义）
         或 R = 1/lim ⁿ√|aₙ|（按 1/0=∞、1/∞=0 解释）
收敛区间 (−R, R)；端点 x=±R 必须单独代入判敛散
Σaₙ(x−x₀)^n：收敛区间 (x₀−R, x₀+R)

普通比值或根值极限不存在时，不可直接套上式，可改用收敛判别法确定半径。逐项求导/积分（在收敛区间内）：

Σaₙx^n 求导 → Σn aₙ x^{n−1}，半径不变
求 ∫ 同理，半径不变

常用和函数：

Σ_{n=0}^∞ x^n = 1/(1−x)          (|x|<1)
Σ_{n=1}^∞ nx^{n−1} = 1/(1−x)²     (|x|<1)
Σ_{n=0}^∞ x^n/n! = e^x
Σ_{n=1}^∞ (−1)^{n−1}x^n/n = ln(1+x)  (−1<x≤1)

11.6 傅里叶级数（大纲明确要求）

周期 2π 的函数：

a₀ = (1/π)∫_{−π}^{π} f(x)dx
aₙ = (1/π)∫_{−π}^{π} f(x)cos nx dx
bₙ = (1/π)∫_{−π}^{π} f(x)sin nx dx
f(x) ~ a₀/2 + Σ(aₙcos nx + bₙ sin nx)

• 奇函数 → 只有正弦项；偶函数 → 只有余弦项（+ a₀/2）。
• 狄利克雷收敛定理须有条件：例如一周期内有限分段光滑，函数及其一阶导数在各分段端点有有限单侧极限。在此充分条件下，连续点收敛于 f(x)，跳跃点收敛于 [f(x−)+f(x+)]/2；周期端点按周期延拓取左右极限。
• 周期 2l（l>0）的换算是辅助拓展：把 nx 换成 nπx/l，系数分母 π 换成 l，积分区间改为 [−l,l]。本次大纲列出的展开区间是 [−π,π)，未列半区间正弦、余弦展开。

11.7 判敛与展开的使用条件

• 数项级数收敛指部分和 S_N 有有限极限；正项级数收敛 ⇔ 部分和有上界。有限项增删不影响敛散性，收敛级数可作有限次线性组合，不能把条件收敛级数任意重排。
• 判敛流程、p 级数、比较／极限比较／比值／根值、莱布尼茨及绝对收敛见 §11.1—11.4、模板 12。1/ln n→0，其级数（从 n=2 起）发散可由 1/ln n≥1/n（n≥2）比较；不能沿用自测第 4 题答案中“通项不趋零”的理由。
• 幂级数端点必须逐个检查；比值半径公式要求相应极限存在，不能机械套用不存在的极限。区间内可逐项求导、积分且半径不变，端点性质可能改变；见 §11.5、模板 13。
• 泰勒系数为 f⁽ⁿ⁾(0)/n!；有各阶导数不自动保证等于其泰勒级数，还需余项趋于 0。熟记 1/(1−x)、e^x、sin x、cos x、ln(1+x) 展开及收敛域，用代换、求导或积分作间接展开；见 §先修 3.3（泰勒展开）。
• 三角函数系在 [−π,π] 上正交：不同频率交叉积分为 0；n≥1 时 ∫sin²(nx)dx=∫cos²(nx)dx=π，常数 1 的平方积分为 2π。
• 傅里叶系数及奇偶简化见 §11.6、模板 14，删去理解上的“若大纲包含”前提。满足狄利克雷条件（如一个周期内分段光滑）时，级数收敛到 [f(x−)+f(x+)]/2；连续点为 f(x)，±π 处须按周期延拓取两侧极限。

12. 易错点自查（不作考试频率断言）

1. 洛必达只能用于 0/0 或 ∞/∞，其他未定式必须先变形。
2. 等价无穷小替换在 加减中要谨慎，只在乘除里放心换。
3. 分段函数在分界点求导 → 必须用定义算左右导数。
4. 可导 ⇒ 连续，反之不成立；判断题常在这里挖坑。
5. 极值点不一定是驻点（导数不存在的点也可能是极值）。
6. 拐点判断的是连续点两侧的凹凸变化，该点 f'' 可以不存在；f''=0 单独不能判定拐点。
7. ∫dx/x 的结果 必须带绝对值：ln|x|。
8. 定积分换元 要换上下限，且新限对应的变量要匹配。
9. 求面积用 ∫|f−g|，先判断谁在上；面积不能为负。
10. 旋转体先定区域；柱壳法用 2π×到轴距离×壳高，不能无条件套 2πx f(x)。
11. 二重积分极坐标 dxdy = r dr dθ，r 不能漏。
12. 交换积分次序前 必须画区域图，否则限写错。
13. 隐函数 ∂z/∂x = −F_x/F_z，负号和分母 F_z 都别丢。
14. 二阶非齐次先掌握“齐次通解＋一个特解”的结构；自行试设特解的方法属拓展。
15. 级数 Σuₙ 收敛 ⇒ uₙ→0，但 uₙ→0 推不出收敛（Σ1/n）。
16. 幂级数求收敛域 必须单独验端点。
17. 条件收敛级数不能随意重排；两个收敛级数（含条件收敛）可按原顺序逐项相加、相减，和等于各自和的相加、相减。
18. 反常积分要先写成极限再算，不能直接代 ∞。
19. 变限积分求导：上下限是复合函数时，别忘了乘内层导数。
20. 混合偏导相等可用“在该点邻域存在且连续”这一充分条件；条件不满足时应按定义或题设另判。

13. 数字记忆卡

14. 学习顺序（教学建议，不是考频排序）

1. 用先修 §1—§5 修复求导、积分工具，再学 §6 空间几何与投影，做模板文件的 Q1—Q2。
2. 复习 §7 偏导、极值、方向导数与切平面，做 Q3—Q4。
3. §8 二重积分 → 三重积分与应用 → §9 曲线积分、格林公式、曲面积分，依次做 Q5—Q10。
4. §10 一阶三类 → 可降阶 → 解的结构 → 二阶齐次，做 Q11；非齐次待定系数暂留拓展。
5. §11 判敛、幂级数、间接展开、傅里叶，做 Q12；错题回到对应公式和教材例题，不用诊断题推断权重。

六章都要有基本覆盖。只刷熟练的一两块，是这次校准要纠正的主要问题。