数学公式急救卡（00023 六章校准版）

用途：练习后的速记与 10/24 午间考场外复盘，不是完整教材，也不保证一页纸能装下。基准：2023 年版教材所附大纲，范围与条件见 考点速查 §0。章节范围以此为准；场次等当地安排以准考证为准。进入考场前按要求收好资料。00023 已核对大纲禁止计算器和参考书。

① 空间解析几何与向量代数

a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃；|a| = √(a·a)
非零向量夹角：cos θ = (a·b)/(|a||b|)
垂直：a·b=0；平行：a=λb（先处理零向量与方向是否有定义）
两点距离：|AB| = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²]

平面（非零法向 n=(A,B,C)）：A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0
直线（非零方向 v=(l,m,n)）：(x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t(l,m,n)
  对称式 (x−x₀)/l=(y−y₀)/m=(z−z₀)/n 仅在相应分量非零时写商；
  某分量为0，改写对应坐标恒等式，不除以0。
平面夹角取锐角：cos θ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
直线夹角取锐角：cos θ = |v₁·v₂|/(|v₁||v₂|)

常见形状：x²+y²+z²=R² 球面；x²+y²=R² 为轴平行 z 轴的柱面；z=x²+y² 为椭圆抛物面；z²=x²+y² 为圆锥面。旋转面与空间曲线投影要检查消元后的取值限制，不能只机械消变量。

② 多元函数微分

全微分：dz=f_x dx+f_y dy（以可微为前提）
复合 z=f(u,v)：z_x=f_u u_x+f_v v_x；z_y 同理
隐函数 F(x,y,z)=0：z_x=−F_x/F_z，z_y=−F_y/F_z
  要求F有相应连续偏导，所求点F_z≠0。

梯度：∇f=(f_x,f_y,f_z)
沿非零向量v的方向导数：D_v f=∇f·(v/|v|)（f在该点可微）
曲面 F=0 在P的切平面：∇F(P)·((x,y,z)−P)=0
  要求F为C¹且∇F(P)≠0；法线方向就是∇F(P)。
曲线 r(t) 在t₀的切线：r(t₀)+s r'(t₀)，r'(t₀)≠0
  法平面以r'(t₀)为法向，过r(t₀)。

二元极值先解 f_x=f_y=0，再判别（邻域内二阶偏导连续）：

A=f_xx，B=f_xy，C=f_yy，Δ=AC−B²（均在驻点代值）
Δ>0且A>0：极小；Δ>0且A<0：极大；Δ<0：鞍点；Δ=0：另判

闭区域最值还要查边界；约束乘数法的正则条件、约束奇异点不能漏。

③ 重积分

二重：∬_D f dxdy = ∫_a^b dx ∫_{y₁(x)}^{y₂(x)} f(x,y)dy
极坐标：x=r cosθ，y=r sinθ，dxdy=r dr dθ（r≥0）
三重：∭_Ω f dV = ∬_D [∫_{z₁(x,y)}^{z₂(x,y)} f(x,y,z)dz]dxdy
柱面坐标：x=r cosθ，y=r sinθ，z=z，dV=r dr dθ dz
  实际累次次序按区域选，不因写了dV就忽略积分界的依赖关系。

面积 A=∬_D 1 dxdy；体积 V=∭_Ω 1 dV
质量 m=∬_D ρ dA 或 ∭_Ω ρ dV（ρ为相应面/体密度）

先画区域再定限，极坐标与柱面坐标都别漏 r。区域对某坐标反射对称、被积函数对该坐标为奇且可积时，积分为 0；换序后变量与上下限必须一致。

④ 曲线积分、格林公式与曲面积分

曲线：先分第一类与第二类

对分段光滑曲线 r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b：

第一类：∫_L f ds = ∫_a^b f(r(t))√(x'²+y'²+z'²)dt
  与方向无关；平面曲线去掉z'²。
第二类：∫_L P dx+Q dy+R dz = ∫_a^b [Px'+Qy'+Rz']dt
  系数沿曲线代入；方向反过来，积分变号。

Green：∮_{∂D正向} P dx+Q dy = ∬_D (Q_x−P_y)dxdy
  D为有分段光滑简单边界的平面区域，P,Q在含D及边界的邻域C¹；
  本轮先掌握单连通情形，外边界逆时针；反向加负号。
路径无关：在单连通开域中，P,Q为C¹且P_y=Q_x ⇒ 可求势函数u
  du=Pdx+Qdy，积分=u(终点)−u(起点)。有孔区域不能只查偏导相等。

曲面：投影前先写定向

对图形曲面 S: z=g(x,y)，(x,y)∈D，设 g 为 C¹：

第一类：∬_S f dS = ∬_D f(x,y,g)√(1+g_x²+g_y²)dxdy
  不随法向选择改变。
第二类：∬_S P dy dz+Q dz dx+R dx dy
  向上：=∬_D (−Pg_x−Qg_y+R)|_{z=g} dxdy
  向下：上述整体取负。

第二类不是第一类乘一个任意符号。 对无法单片写成 z=g 的曲面，可换投影或分片；每片核对法向。球面坐标、高斯公式、散度不作本轮专项。

⑤ 常微分方程

可分离 y'=f(x)g(y)：g(y)≠0时 ∫dy/g(y)=∫f(x)dx
  另查g(y₀)=0对应的常数解y≡y₀。
齐次 y'=F(y/x)：令u=y/x，y'=u+xu'，在x≠0区间求解。
一阶线性 y'+P(x)y=Q(x)：
  y=e^(−∫Pdx)[∫Qe^(∫Pdx)dx+C]

可降阶：
  y''=f(x)：积分两次；
  y''=f(x,y')：令p=y'，先解p'=f(x,p)，再积分y'=p；
  y''=f(y,y')：令p=p(y)=y'，y''=p dp/dy（局部以y作变量）；
    解后再积分dy/dx=p(y)；涉及除以p时补查常数解等被除掉的分支。

二阶常系数齐次 y''+py'+qy=0，特征方程r²+pr+q=0：
  不同实根：C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)
  重实根r：(C₁+C₂x)e^(rx)
  复根α±iβ：e^(αx)(C₁cosβx+C₂sinβx)
非齐次通解结构：对应齐次通解+一个特解（给定特解可代回验证）。

本轮不把“待定系数法求非齐次特解”当主攻；方程解答写明区间、初值和常数，能代回就验。

⑥ 无穷级数

∑uₙ收敛 ⇒ uₙ→0；不趋0（含极限不存在）则发散，趋0不能判收敛。
p级数∑1/n^p：p>1收敛，其余发散。
非零首项等比级数：|q|<1收敛，其余发散。
正项比较：0≤aₙ≤bₙ，∑bₙ收敛 ⇒ ∑aₙ收敛；∑aₙ发散 ⇒ ∑bₙ发散。
比值ρ=lim|uₙ₊₁/uₙ| 或根值ρ=lim√[n](|uₙ|)（相应极限存在）：
  ρ<1绝对收敛；ρ>1发散；ρ=1不能判断（比值式须有定义）。
莱布尼茨：bₙ≥0，单调趋0 ⇒ ∑(−1)ⁿbₙ收敛；绝对收敛另判。
两个收敛级数可按原顺序逐项加减，条件收敛不能任意重排保证和不变。

∑aₙ(x−x₀)ⁿ：R=lim|aₙ/aₙ₊₁| 或1/lim√[n](|aₙ|)
  普通极限公式仅在相应极限存在且式子有定义时使用。
  |x−x₀|<R绝对收敛，>R发散；有限正R的两个端点单独代入检验。

常用展开：
  eˣ=∑xⁿ/n!；sin x=∑(−1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)!；cos x类似（全实轴）
  1/(1−x)=∑xⁿ（|x|<1）
  ln(1+x)=∑_{n≥1}(−1)^(n−1)xⁿ/n（−1<x≤1）

傅里叶级数不能整块跳过

f(x) ~ a₀/2+∑_{n≥1}(aₙcos nx+bₙsin nx)
aₙ=(1/π)∫_{−π}^π f(x)cos nx dx（n≥0）
bₙ=(1/π)∫_{−π}^π f(x)sin nx dx（n≥1）
奇函数：a₀=aₙ=0；偶函数：bₙ=0。

满足狄利克雷型充分条件（例如 2π 周期、分段 C¹）时，连续点收敛到 f(x)，跳跃点收敛到左右极限平均值；周期接缝按周期延拓后的两侧判断。

最后检查

法向 / 方向 → 积分界 → r → 驻点 → 常数与初值 → 级数端点。

基础积分只按需回查：高数速查第 4—5 节。不定积分保留 +C、∫dx/x=ln|x|+C，不能因为降为先修工具就省略严谨步骤。