高等数学（工本）· 题型模板与自测（00023 大纲口径）

配合考点速查使用。本文件含 14 个模板、12 道补缺诊断题（Q1—Q12）、21 题自测与答案。这些都不是官方样卷，也不按官方题型配比编排；只用来练手和查漏，不据此估算考试成绩。依据：《高等数学（工本）》（2023 年版）所附大纲，六章范围与条件见考点速查 §0。

内容	定位
模板 1—6	一元微积分基础工具；课程计算卡住时回查，不是复习主线
模板 7—10、12—14	与课程考核直接关联，但各章仍有缺项
模板 11 例 1—2	二阶常系数线性齐次求解，在考
模板 11 例 3—4、自测 18	通解结构在考；待定系数求特解为拓展
Q1—Q12	补六章缺口：空间几何、方向导数、三重积分、曲线曲面积分、可降阶、傅里叶

空间解析几何、三重积分、曲线与曲面积分不能因模板缺失而跳过；缺的题型全部在 Q1—Q12 补齐。

一、大纲题型与练习使用方式

已核对《高等数学（工本）（2023 年版）》所附大纲印刷页 4—18（扫描 PDF 页 1—15）。来源为培训网站转载扫描件，非官网直发但内容为大纲原文，已确认采用。场次等当地安排仍以准考证和考试院通知为准。

大纲规定题型	题量	分值
单项选择题	10 题	30 分
计算题	10 题	60 分
综合题	2 题	10 分
合计	22 题	100 分

闭卷 150 分钟，不允许使用计算器。 大纲该处未列填空题，本文件的填空练习只是基础自检。若自行限时训练，可试用“单选 25′、计算 85′、综合 25′、检查 15′”，再按自己的耗时调整；这只是时间管理建议，不是官方要求。

练习时写明换元、公式适用条件、积分限和判别依据，便于核查解题过程；不对具体步骤承诺分数，评分以当次试卷标准为准。

二、14 个模板（按六章选用）

模板 1：求极限

套路：代入 → 判型 → 化简/等价/洛必达/泰勒。

例 1 lim(x→0) (1−cos x)/x²

原式 = lim (x²/2)/x² = 1/2        （等价无穷小 1−cos x ~ x²/2）

例 2 lim(x→0) (e^x − 1 − x)/x²

e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²)
原式 = lim (x²/2 + o(x²))/x² = 1/2

例 3 lim(x→∞) (1 + 2/x)^{3x}

= lim [(1 + 2/x)^{x/2}]^{6} = e^6

例 4 lim(x→0+) x ln x（0·∞ 型）

= lim ln x / (1/x)  → 洛必达 → lim (1/x)/(−1/x²) = lim (−x) = 0

例 5 lim(x→0) (tan x − sin x)/x³

tan x − sin x = sin x(1/cos x − 1) = sin x(1−cos x)/cos x ~ x·(x²/2) = x³/2
原式 = 1/2

模板 2：求导（含隐函数、参数方程、幂指函数）

例 1 y = x^x（x>0）

两边取对数：ln y = x ln x
两边求导：y'/y = ln x + 1
y' = x^x(ln x + 1)

例 2 x² + y² = 1 在 y≠0 的局部确定 y=y(x)，求 y'

两边对 x 求导：2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = −x/y

例 3 x = t − sin t, y = 1 − cos t，在 1−cos t≠0 处求 dy/dx 与 d²y/dx²

dy/dx = (sin t)/(1 − cos t)
d²y/dx² = d/dt[(sin t)/(1−cos t)] ÷ (1−cos t)
        = [cos t(1−cos t) − sin t·sin t]/(1−cos t)² ÷ (1−cos t)
        = (cos t − 1)/(1−cos t)³ = −1/(1−cos t)²

例 4 y = ln(x + √(1+x²))，求 y'

y' = [1 + x/√(1+x²)]/(x + √(1+x²))
   = 1/√(1+x²)

模板 3：单调区间、极值、最值

步骤：求 f' → 解 f'=0 及不可导点 → 列表判号 → 写结论。

例 f(x) = x³ − 3x

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，驻点 x = ±1
x < −1：f' > 0，增
−1 < x < 1：f' < 0，减
x > 1：f' > 0，增
极大值 f(−1) = −1 + 3 = 2
极小值 f(1) = 1 − 3 = −2

最值：若问 [a,b] 上的最值，再把 f(a)、f(b) 与极值比较。

证明不等式模板（例：x>0 时 x > ln(1+x)）

设 f(x) = x − ln(1+x)，则 f(0) = 0
f'(x) = 1 − 1/(1+x) = x/(1+x) > 0  (x > 0)
故 f(x) 在 [0,+∞) 上严格单调增，从而 x>0 时 f(x) > f(0) = 0
即 x > ln(1+x)。证毕。

模板 4：不定积分

决策顺序：能直接套表 → 能凑微分 → 分部 → 三角代换 → 部分分式。

例 1（凑微分） ∫ x e^{x²} dx

= (1/2)∫ e^{x²} d(x²) = (1/2)e^{x²} + C

例 2（分部） ∫ x ln x dx（x>0）

u = ln x, dv = x dx ⇒ v = x²/2
= (x²/2)ln x − ∫(x²/2)(1/x)dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C

例 3（分部） ∫ ln x dx（x>0）

u = ln x, dv = dx ⇒ v = x
= x ln x − ∫ x·(1/x)dx = x ln x − x + C

例 4（三角代换） ∫ dx/√(1−x²) 直接套表 = arcsin x + C；∫ √(1−x²) dx 令 x = sin t → ∫cos²t dt = t/2 + sin2t/4 + C = (arcsin x)/2 + (x√(1−x²))/2 + C。

例 5（部分分式） ∫ dx/(x²−1)

1/(x²−1) = 1/2·[1/(x−1) − 1/(x+1)]
= (1/2)ln|x−1| − (1/2)ln|x+1| + C = (1/2)ln|(x−1)/(x+1)| + C

模板 5：定积分与变限积分

例 1 ∫_0^1 x e^x dx

= [x e^x]_0^1 − ∫_0^1 e^x dx = e − (e − 1) = 1

例 2（变限求导） F(x) = ∫_0^{x²} sin t dt，求 F'(x)

F'(x) = sin(x²)·(x²)' = 2x sin(x²)

例 3（奇偶性） ∫_{−1}^{1} (x³ + x²)dx（被积函数连续，满足可积前提）

x³ 是奇函数 → 积分为 0
x² 是偶函数 → 2∫_0^1 x² dx = 2/3
原式 = 2/3

例 4（反常积分） ∫_1^{+∞} dx/x²

= lim(b→+∞)[−1/x]_1^b = lim(1 − 1/b) = 1，收敛

模板 6：定积分的几何应用

求面积：先求交点 → 判断上下 → A = ∫(上 − 下)dx。

旋转体：先指定平面区域。下面例 2—3 均指 0≤x≤1、0≤y≤x²；柱壳法用“到轴距离×壳高”，本例分别为 x 和 x²。一般区域须重新确定半径、壳高，跨轴时避免重复计体积。

例 1 求 y = x² 与 y = x 围成的面积

交点：x² = x ⇒ x = 0, 1，在 (0,1) 上 x > x²
A = ∫_0^1 (x − x²)dx = 1/2 − 1/3 = 1/6

例 2 y = x²，x∈[0,1]，绕 x 轴旋转体体积

V = π∫_0^1 (x²)² dx = π∫_0^1 x⁴ dx = π/5

例 3 同上，绕 y 轴（柱壳法）

V = 2π∫_0^1 x·x² dx = 2π∫_0^1 x³ dx = 2π/4 = π/2

模板 7：偏导数、全微分、隐函数

例 1 z = x²y + sin(xy)

z_x = 2xy + y cos(xy)
z_y = x² + x cos(xy)
dz = [2xy + y cos(xy)]dx + [x² + x cos(xy)]dy

例 2（隐函数） x² + y² + z² = 1 在 z≠0 的局部确定 z = z(x,y)（F 一阶偏导连续且 F_z≠0）

设 F = x² + y² + z² − 1
F_x = 2x, F_z = 2z
∂z/∂x = −F_x/F_z = −x/z
同理 ∂z/∂y = −y/z

例 3（复合） z = f(x²y, x+y)，设 f 在所考察点可微，求 z_x

设 u = x²y, v = x+y
z_x = f_u·(2xy) + f_v·1 = 2xy f_u + f_v

模板 8：二元函数极值

步骤：对定义域内点，先求 f_x=f_y=0 的驻点；在函数具有连续二阶偏导的邻域内，算 A=f_xx、B=f_xy、C=f_yy，用 Δ=AC−B² 判别。偏导不存在的点和边界另查；Δ=0 时不能直接下结论。

例 f(x,y) = x³ − y³ + 3x² + 3y² − 9x

f_x = 3x² + 6x − 9 = 3(x+3)(x−1) = 0 ⇒ x = 1 或 x = −3
f_y = −3y² + 6y = −3y(y−2) = 0 ⇒ y = 0 或 y = 2
驻点：(1,0), (1,2), (−3,0), (−3,2)

f_xx = 6x + 6,  f_xy = 0,  f_yy = 6 − 6y
Δ = (6x+6)(6−6y)

(1,0)  : Δ = 12×6 = 72 > 0, A = 12 > 0  → 极小值 f = 1+3−9 = −5
(1,2)  : Δ = 12×(−6) = −72 < 0          → 非极值
(−3,0) : Δ = (−12)×6 = −72 < 0          → 非极值
(−3,2) : Δ = (−12)×(−6) = 72 > 0, A = −12 < 0 → 极大值 f = −27−8+27+12+27 = 31

模板 9：二重积分

例 1（直角坐标，X 型） ∬_D (x+y)dxdy，D：0≤x≤1，0≤y≤x

= ∫_0^1 dx ∫_0^x (x+y)dy
= ∫_0^1 [xy + y²/2]_0^x dx
= ∫_0^1 (x² + x²/2)dx = (3/2)(1/3) = 1/2

例 2（极坐标） ∬_D e^{−(x²+y²)}dxdy，D：x²+y² ≤ 1

= ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 e^{−r²}·r dr
= 2π·(1/2)(1 − e^{−1})
= π(1 − e^{−1})

例 3（交换次序） ∫_0^1 dx ∫_x^1 f(x,y)dy 改序

区域：0≤x≤1，x≤y≤1  ⇔  0≤y≤1，0≤x≤y
= ∫_0^1 dy ∫_0^y f(x,y)dx

例 4（对称性） D：x²+y²≤1，求 ∬_D x³y dxdy

D 关于 x 轴对称，x³y 关于 y 为奇函数 ⇒ 积分 = 0

模板 10：一阶微分方程

例 1（可分离） y' = 2xy，y(0) = 1

先查常数解 y≡0；对非零解，dy/y = 2x dx ⇒ ln|y| = x² + C
非零解写成 y = Ce^{x²}（C≠0），并入零解可允许 C=0
由 y(0)=1 得 C=1 ⇒ y = e^{x²}

例 2（齐次） y' = (x+y)/x = 1 + y/x（在不跨过 x=0 的区间上）

令 u = y/x ⇒ y = ux, y' = u + x u'
u + x u' = 1 + u ⇒ x u' = 1 ⇒ u = ln|x| + C
y = x(ln|x| + C)

例 3（一阶线性） y' + y = e^x

P = 1, Q = e^x
μ = e^{∫1 dx} = e^x
y = e^{−x}(∫ e^x·e^x dx + C) = e^{−x}(e^{2x}/2 + C)
  = e^x/2 + Ce^{−x}

模板 11：二阶常系数线性方程（齐次求解在考，非齐次求特解为拓展）

大纲要求会解齐次方程，知道非齐次通解“齐次通解＋一个特解”的结构。例 3—4 的待定系数法求特解保留作拓展，不作为本轮优先训练内容。

例 1（齐次，Δ>0） y'' − 3y' + 2y = 0

r² − 3r + 2 = 0 ⇒ r = 1, 2
y = C₁e^x + C₂e^{2x}

例 2（齐次，Δ<0） y'' + 4y = 0

r² + 4 = 0 ⇒ r = ±2i
y = C₁cos 2x + C₂sin 2x

例 3（非齐次，λ 是单根） y'' − 3y' + 2y = e^x

齐次通解：Y = C₁e^x + C₂e^{2x}
λ = 1 是特征单根 ⇒ 设 y* = A x e^x
y*' = A e^x(x+1),  y*'' = A e^x(x+2)
代入：A e^x[(x+2) − 3(x+1) + 2x] = A e^x(−1) = e^x
⇒ A = −1,  y* = −x e^x
通解：y = C₁e^x + C₂e^{2x} − x e^x

例 4（非齐次，λ 不是特征根） y'' − y = e^{2x}

λ = 2 不是根 ⇒ 设 y* = Ae^{2x}
4Ae^{2x} − Ae^{2x} = 3Ae^{2x} = e^{2x} ⇒ A = 1/3
通解：y = C₁e^x + C₂e^{−x} + (1/3)e^{2x}

模板 12：级数敛散性判断

判断流程：项→0？ → 正项/交错？ → 选判别法 → 得结论。

例 1 Σ n/2^n

比值：u_{n+1}/u_n = (n+1)/(2^{n+1}) · 2^n/n = (n+1)/(2n) → 1/2 < 1
收敛

例 2 Σ 1/(n² + 1)

1/(n²+1) < 1/n²，而 Σ1/n² 是 p=2 的 p-级数，收敛
⇒ 原级数收敛

例 3 Σ (−1)^{n−1}/n

u_n = 1/n 单调递减且 →0，由莱布尼茨判别法收敛；
但 Σ1/n 发散 ⇒ 条件收敛

例 4 Σ (−1)^{n−1}/n²

Σ1/n² 收敛 ⇒ 绝对收敛

例 5 Σ (n/(2n+1))^n

根值：(n/(2n+1)) → 1/2 < 1 ⇒ 收敛

模板 13：幂级数收敛域与和函数

例 1 Σ x^n/n

R = lim |a_n/a_{n+1}| = lim (n+1)/n = 1
端点 x=1：Σ1/n 发散
端点 x=−1：Σ(−1)^n/n 收敛
收敛域：[−1, 1)

例 2 Σ (x−1)^n/2^n

R = lim (2^{n+1}/2^n) = 2 ⇒ |x−1| < 2 ⇒ (−1, 3)
x=3：Σ1 发散；x=−1：Σ(−1)^n 发散
收敛域：(−1, 3)

例 3（求和函数） 求 Σ_{n=1}^∞ n x^{n−1}，|x|<1

已知 Σ_{n=0}^∞ x^n = 1/(1−x)
两边求导：Σ_{n=1}^∞ n x^{n−1} = 1/(1−x)²

例 4（求和函数） 求 Σ_{n=1}^∞ x^n/n，|x|<1

设 S(x) = Σ x^n/n，则 S'(x) = Σ x^{n−1} = 1/(1−x)
S(x) = ∫_0^x dt/(1−t) = −ln(1−x)

模板 14：傅里叶级数（大纲明确要求）

收敛结论须有狄利克雷条件，例如一周期内有限分段光滑且函数及一阶导数在分段端点有有限单侧极限；本例满足该充分条件，端点按周期延拓处理。

例 f(x) 周期 2π，在 [−π, π) 上 f(x) = x，展开为傅里叶级数。

积分区间内 x 为奇函数（单个端点取值不影响积分系数）⇒ a₀ = 0, aₙ = 0
bₙ = (1/π)∫_{−π}^{π} x sin nx dx = (2/π)∫_0^π x sin nx dx
   = (2/π)[−x cos nx/n + sin nx/n²]_0^π
   = (2/π)(−π cos nπ/n) = −2cos nπ/n = 2(−1)^{n+1}/n

f(x) ~ Σ_{n=1}^∞ [2(−1)^{n+1}/n] sin nx
在 x = ±π（间断点）收敛于 0 = [f(π−)+f(−π+)]/2

三、补缺诊断 12 题（Q1—Q12，含完整解答）

以下均为自编练习，不是历年真题，不预测题量、分数、权重或考试频率。每题围绕一项主任务，必要子问用于核验同一计算。

Q1｜空间直线与平面的位置分析

过 A=(1,0,0)、B=(1,1,1) 的直线 l，与平面 π：y+z=2 的夹角及交点是什么？写出 l 的参数式作为依据。

解：v=AB=(0,1,1)，|v|=√2；π 的法向量 n=(0,1,1)。直线为 x=1，y=t，z=t；v·n=2，故 sin α=2/(√2·√2)=1，α=π/2，直线垂直平面。代入平面得 2t=2，t=1，所以交点是 B=(1,1,1)。

Q2｜空间交线的投影

求球面 x²+y²+z²=1 与平面 z=x 的交线在 xOy 面上的投影，并说明消元后没有多余点。

解：用 z=x 代入球面，得 2x²+y²=1。任取满足此式的 (x,y)，取实数 z=x 即同时满足两原方程，所以没有多余点。投影是 xOy 面内椭圆 2x²+y²=1，z=0，半轴分别为 1/√2、1；投影点的 z=0 不等于原交线点的 z=x。

Q3｜指定方向的变化率

f=x²+y²+z²，在 M=(1,0,1) 处沿 v=(0,3,4) 的方向求方向导数。

解：∇f=(2x,2y,2z)，在 M 为 (2,0,2)。|v|=5，单位方向 e=(0,3/5,4/5)，所以 D_e f(M)=(2,0,2)·e=8/5。若直接点乘 v 得到 8，是漏掉单位化，不是所求方向导数。

Q4｜同一点的切／法几何对象

曲线 r(t)=(t,t²,t³) 与球面 x²+y²+z²=3 在 M=(1,1,1) 相交。建立该点的曲线切线、法平面及球面切平面、法线方程。

解：M 对应 t=1，r′(1)=(1,2,3)≠0。曲线切线：(x,y,z)=(1,1,1)+s(1,2,3)；法平面：(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0。令 F=x²+y²+z²−3，则 ∇F(M)=(2,2,2)≠0。球面切平面：x+y+z=3；法线：(x,y,z)=(1,1,1)+u(1,1,1)。参数 s、u 各自独立。

Q5｜直角坐标下的体积与质量

Ω 为第一卦限内 x+y+z≤1 的立体，体密度 ρ=1+z。用三重积分求体积及质量。

解：投影 D：0≤x≤1，0≤y≤1−x；令 h=1−x−y，则 0≤z≤h。V=∫₀¹dx∫₀^{1−x}dy∫₀ʰ1 dz=∫₀¹(1−x)²/2 dx=1/6。m=∫₀¹dx∫₀^{1−x}(h+h²/2)dy=∫₀¹[(1−x)²/2+(1−x)³/6]dx=1/6+1/24=5/24。密度 ≥1，所以 m≥V，也与结果相符。

Q6｜柱面坐标下的体积与质量

Ω：x²+y²≤1，0≤z≤x²+y²，体密度 ρ=z。用柱面坐标求体积及质量。

解：0≤θ≤2π，0≤r≤1，0≤z≤r²，体积元为 r dz dr dθ。V=∫₀^{2π}dθ∫₀¹dr∫₀^{r²}r dz=2π∫₀¹r³dr=π/2。m=∫₀^{2π}dθ∫₀¹dr∫₀^{r²}zr dz=π∫₀¹r⁵dr=π/6。此处 0≤ρ≤1，故 0≤m≤V，可作符号与量级检查。

Q7｜两类曲线积分与反向

L 是从 (0,0) 到 (1,1) 的直线段。比较 I=∫_L(x+y)ds 与 J=∫_L y dx+2x dy，并给出反向结果。

解：取 x=t，y=t，0≤t≤1，则 ds=√2 dt，dx=dy=dt。I=∫₀¹2t√2 dt=√2；J=∫₀¹(t+2t)dt=3/2。反向时 I 仍为 √2，J 为 −3/2；第一类的弧长元不带方向，第二类带方向。

Q8｜用 Green 计算闭路积分

L 为单位正方形 [0,1]×[0,1] 的逆时针边界，求 ∮_L(2xy−y)dx+(x²+x)dy，并用保守部分核对结果。

解：P=2xy−y、Q=x²+x 在全平面光滑，正方形单连通且边界正向，可用 Green。Q_x−P_y=(2x+1)−(2x−1)=2，故积分=∬_D2 dxdy=2。核对：2xy dx+x²dy=d(x²y)，此部分路径无关，闭路积分为 0；剩下 −y dx+x dy 的 Green 被积函数为 2，仍得 2。完整积分并不路径无关：其 P_y≠Q_x；不能因为其中一部分是全微分就把全式判为 0。

Q9｜第一类曲面积分的投影

S：z=1+x+y，0≤x≤1，0≤y≤1，求 ∬_S z dS。

解：g_x=g_y=1，dS=√3 dxdy，投影是单位正方形。原式=√3∫₀¹dx∫₀¹(1+x+y)dy=√3∫₀¹(3/2+x)dx=2√3。改变曲面朝向不影响此值，因为这是对面积的第一类积分。

Q10｜第二类曲面积分的定向

S 是第一卦限内平面 x+y+z=1 被三个坐标面截得的三角形，取下向。求 ∬_S x dy dz+y dz dx+z dx dy。

解：z=g(x,y)=1−x−y，D：0≤x≤1，0≤y≤1−x，g_x=g_y=−1。上向面积向量为 (1,1,1)dxdy，下向为 (−1,−1,−1)dxdy。下向积分=∬_D[−x−y−(1−x−y)]dxdy=−∫₀¹(1−x)dx=−1/2。若改上向则为 +1/2。这里三个分量都有贡献，不能只保留 z dxdy。

Q11｜三类降阶的识别与初值恢复

分别用对应降阶法求以下初值问题：① y″=2，y(0)=1，y′(0)=0；② y″=y′，y(0)=0，y′(0)=1；③ y″=2yy′，y(0)=0，y′(0)=1。

解①：连续积分得 y′=2x+C₁，y=x²+C₁x+C₂。初值给 C₁=0、C₂=1，故 y=x²+1。解②：令 p(x)=y′，p′=p，p(0)=1，得 p=e^x；再积分 y=e^x+C，代 y(0)=0 得 y=e^x−1。解③：不显含 x，令 p(y)=y′，得 p·dp/dy=2yp。初值 p(0)=1，局部 p≠0，除以 p 得 dp/dy=2y。积分 p=y²+C，由 y=0 时 p=1 得 C=1，故 y′=1+y²。积分 arctan y=x+C₂，初值给 C₂=0，得 y=tan x，包含 0 的最大解区间为 (−π/2,π/2)。③中被除去的 p=0 对应常值解，虽满足方程，但不满足给定 y′(0)=1；回代 tan x 有 y″=2tan x·sec²x=2yy′，初值也成立。

Q12｜傅里叶展开与端点核验

f 为 2π 周期函数，在 [−π,π) 上 f(x)=x²。求傅里叶展开并说明端点收敛值，再用 x=π 核验 ∑_{n=1}^∞1/n²。

解：f 为偶函数，b_n=0；a₀=(2/π)∫₀^πx²dx=2π²/3。两次分部积分：∫₀^πx²cos(nx)dx=[x²sin(nx)/n]₀^π−(2/n)∫₀^πx sin(nx)dx。其中 ∫₀^πx sin(nx)dx=[−x cos(nx)/n+sin(nx)/n²]₀^π=−π(−1)^n/n。故 a_n=(2/π)·2π(−1)^n/n²=4(−1)^n/n²，展开为 π²/3+4∑_{n=1}^∞(−1)^n cos(nx)/n²。周期延拓后在 ±π 两侧极限均为 π²，且函数分段光滑，所以级数在端点收敛到 π²；内部收敛到 x²。令 x=π，有 cos(nπ)=(−1)^n，故 π²=π²/3+4∑1/n²，得到 ∑1/n²=π²/6。

四、自测 21 题（非官方仿真卷）

这组旧题不按大纲题型或分值配比编排，不设总分，不用于估算考试成绩。第 18 题求非齐次特解为拓展；其余按文首表格区分先修基础与课程专题。未覆盖的课程考点见本文件 Q1—Q12 与考点速查六章表。

A. 选择 / 填空（基础与专题自检）

lim(x→0) sin 3x / x = ______。
f(x) = |x| 在 x = 0 处（） A. 可导　B. 连续但不可导　C. 不连续　D. 无定义
∫_0^1 x² dx = ______。
下列级数收敛的是（） A. Σ1/n　B. Σ1/√n　C. Σ1/n²　D. Σ1/ln n（D 从 n=2 起）
y'' + y = 0 的通解是（） A. C₁e^x + C₂e^{−x}　B. C₁cos x + C₂sin x　C. (C₁+C₂x)e^x　D. C₁ + C₂x
z = x²y，则 ∂²z/∂x∂y = ______。
二重积分化极坐标时，面积元 dxdy = ______。
幂级数 Σ x^n/2^n 的收敛半径 R = ______。
lim(x→∞)(1 + 1/x)^{2x} = ______。

B. 计算题（基础工具与二重积分）

求 lim(x→0) (e^x − 1 − x)/x²。
设 y = x^x（x>0），求 y'。
求 f(x) = x³ − 3x 的单调区间与极值。
求 ∫ x ln x dx（x>0）。
求 ∫_0^1 x e^x dx。
求 y = x² 与 y = x 所围图形的面积。
求 ∬_D (x+y)dxdy，其中 D：0≤x≤1，0≤y≤x。

C. 计算题（微分方程与幂级数）

求 y' + y = e^x 的通解。
【拓展，降低优先级】求 y'' − 3y' + 2y = e^x 的通解。
求 Σ x^n/n 的收敛域。

D. 证明与二元极值

证明：当 x > 0 时，x > ln(1+x)。
求 f(x,y) = x³ − y³ + 3x² + 3y² − 9x 的极值。

五、自测答案

3。（sin3x ~ 3x）
B。左导数 −1，右导数 1，不相等，故不可导；但连续。
1/3。
C。p=2>1 收敛；A、B 是 p≤1 的发散级数。D 的通项 1/ln n→0，但对 n≥2 有 0<ln n<n，故 1/ln n>1/n；与发散的调和级数比较，D 发散。
B。r²+1=0，r=±i。
2x。z_x = 2xy，再对 y 求导得 2x。
r dr dθ。
2。R = lim |aₙ/aₙ₊₁| = lim (2^{n+1}/2^n) = 2。
e²。[(1+1/x)^x]² → e²。
用 e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²)： `` 原式 = lim (x²/2 + o(x²))/x² = 1/2 ``
取对数 ln y = x ln x ⇒ y'/y = ln x + 1 `` y' = x^x(ln x + 1) ``
f'(x) = 3(x−1)(x+1)，驻点 x = ±1。 `` (−∞,−1) 增；(−1,1) 减；(1,+∞) 增极大值 f(−1) = 2；极小值 f(1) = −2 ``
u = ln x, dv = x dx ⇒ v = x²/2 `` = (x²/2)ln x − ∫(x²/2)(1/x)dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C ``
分部：u = x, dv = e^x dx `` = [x e^x]_0^1 − ∫_0^1 e^x dx = e − (e − 1) = 1 ``
交点 x = 0, 1；在 (0,1) 上 x > x² `` A = ∫_0^1 (x − x²)dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 ``
`` ∫_0^1 dx ∫_0^x (x+y)dy = ∫_0^1 [xy + y²/2]_0^x dx = ∫_0^1 (3x²/2)dx = (3/2)(1/3) = 1/2 ``
P=1, Q=e^x, μ = e^x `` y = e^{−x}(∫ e^x·e^x dx + C) = e^{−x}(e^{2x}/2 + C) = e^x/2 + Ce^{−x} ``
特征根 r = 1, 2；λ=1 是单根 ⇒ y* = Axe^x `` 代入得 −A e^x = e^x ⇒ A = −1 通解 y = C₁e^x + C₂e^{2x} − x e^x ``
R = lim (n+1)/n = 1；x=1 时 Σ1/n 发散，x=−1 时 Σ(−1)^n/n 收敛 `` 收敛域 [−1, 1) ``
设 f(x) = x − ln(1+x)，f(0) = 0， `` f'(x) = 1 − 1/(1+x) = x/(1+x) > 0 (x>0) ⇒ f 在 [0,+∞) 严格增 ⇒ x>0 时 f(x) > f(0) = 0 ⇒ x > ln(1+x)。证毕。 ``
驻点：(1,0), (1,2), (−3,0), (−3,2)。 `` f_xx = 6x+6, f_xy = 0, f_yy = 6−6y, Δ = (6x+6)(6−6y) (1,0) : Δ=72>0, A=12>0 → 极小值 f(1,0) = −5 (1,2) : Δ=−72<0 → 非极值 (−3,0) : Δ=−72<0 → 非极值 (−3,2) : Δ=72>0, A=−12<0 → 极大值 f(−3,2) = 31 ``

六、解题自查与考前路线

写出实际使用的关键步骤和依据：换元、区域、定理条件应与题目对应，不能用空泛句式替代推导；不承诺“有字就有分”。
不定积分写积分常数 +C；定积分不要另加 +C。具体扣分规则以当次评分标准为准。
面积、体积应非负；一般有符号定积分可以为负，不能一概改成正数。
洛必达须先化为 0/0 或 ∞/∞ 型，并检查可导、分母导数非零及导数比极限等条件，详见考点速查 §3.2。
隐函数先检查正则条件，再辨清所求变量对应的分母及负号。
微分方程解代回原方程和初始条件核验；分离变量除以 g(y) 前，另查 g(y)=0 对应的常数解。
级数结论写清“收敛／发散／绝对或条件收敛”及判别依据；幂级数端点单独检查。
二元极值列全实际求得的驻点，不预设必有四个；确认二阶判别条件，对 Δ=0 另作判断。
考前路线：先按考点速查 §0 的六章表查缺；优先补模板遗漏的向量与空间几何、多元微分应用、三重积分、曲线与曲面积分及可降阶方程，同时检查齐次方程、级数与傅里叶展开。
每章选代表题独立完成并订正，计算卡在一元极限、求导、积分时再回查模板 1—6；最后按大纲 22 题结构做不使用计算器的限时训练，不以本组 21 题代替全范围练习。